本科生科研指南（50）：模型試驗本科生科研指南（50）：模型試驗 張宇寧華北電力大學（北京） 學習了相似原理和量綱分析之後，很多同學可能已經躍躍欲試，希望在科學研究過程中以及實際問題的解決中一顯身手。縱觀科學史，相似原理的的確確在重要理論的發現以及工程實踐中發揮了巨大作用。1822年，約瑟夫·傅裡葉（Joseph Fourier，1768-1830）發現了在具有明確物理意義的方程或者不等式中，各個項的量綱具有一致性，並將其作為檢查物理方程正確性的一種方法。1872年，瑞利勳爵提出了當今流體力學教課書中廣泛引用的瑞利法並將其應用于重要的研究之中，並在後續將其寫入了他1877年發表的著名專著《聲學基礎》（The Theory of Sound）之中。1878年，白金漢定理（Buckingham theorem）被嚴格地從數學上證明，進一步完善了瑞利法。1915年，瑞利勳爵在《Nature》雜志發表了一篇名為《The Principle of Similitude》的短文，使得相似原理被更多人所熟知。直到今天，相似原理和量綱分析依然是本科生流體力學課程中的重要教學內容。在相似原理的研究中，模型的稱謂是相對于原型所講的。一般而言，原型指的是擬真正研究的對象。模型指的是在研究所和研究室中有限的空間和環境下，為了方便進行科學研究和驗證，將原型進行了等比例縮放後的對象。二者間重要參數的換算關系正是通過相似原理進行構造的。此外，實驗和試驗是兩個極為容易混淆的概念。如果一個現象的科學原理尚不清晰，此時所做的工作一般稱為實驗。如果希望通過嘗試性的運行對某個研究對象的性能進行測試，則一般將此工作稱之為試驗。例如，一種新型水電機組的研發工作是實驗，而已經充分進行了原理論證的水電機組在投運之前所做的各種類型測試（例如，效率測試、功率測試、轉速測試等等）則被稱為試驗。因為相似原理的研究對象通常是尺寸巨大的工程實際問題，所以大部分研發工作屬于試驗類型。在設計模型試驗時，根據相似原理，需要保證模型和原型的相似準則數相等。例如，對于粘性力起主要作用的流動，相似準則數用雷諾數表示，其定義式為特征速度乘以特征長度除以流體的運動粘度。當我們將原型的尺寸縮小十分之一時，如果流動的工質不變的話，那麼我們需要將特征速度提升到原型的10倍。通常而言，上述條件很難在模型試驗中得到滿足。一個較為可行的解決辦法是在模型試驗中用不同類型的工質進行替換。如果模型試驗所採用的工質的運動粘度是原型的五分之一，那麼特征速度只需要提升至原型的2倍即可，比較容易實現。需要注意的是，這種方法並不是總能奏效。工質替換的影響是多方面的，包括模型試驗過程中對工質無毒、無害、不易揮發等性能的具體要求，以及工質價格方面的考量。對于實際工程中的流動，通常需要滿足的相似準則數不止一個，可能是2-3個甚至更多。部分情況下，相似準則數間存在矛盾，即在滿足一個準則數時便一定無法滿足另外一個。例如，

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對于重力和粘性力均存在顯著影響的流動，假如模型和原型均用水做工質，則必然存在矛盾。在這種情況下，需要基于流動本質的深刻理解，對無量綱準則數進行取舍，只求滿足其中的一個或兩個較為重要的無量綱準則數即可。在部分應用中，相似原理的作用是非常重要的。例如，當所研究的對象尺寸非常大時，必須採用相似原理進行前期的試驗驗證等工作，這基本上屬于大型工程研發的基本常識和必要步驟之一。此外，對于極難研究的原型流動，相關的研發工作通常需要嚴重依賴基于相似原理的模型試驗研究工作。例如，人體內血液流動的研究在醫學領域中有著巨大的需求。但是，受制于人體內的復雜環境以及因倫理道德等方面的限制，原型流動的研究較難開展。因此，依據相似原理，通過體外的模型試驗進行替代性研究已在相關領域的研發中蓬勃發展。光是人類生活中不可或缺的因素。西方聖經中的上帝在開天闢地後，首先便創造了光：“上帝說要有光，于是就有了光。”只是這個“就有了”的光是什麼，上帝沒有解釋。從古希臘開始，人類對我們如何能借助光看到五彩繽紛的世界提出過各種猜測，莫衷一是。17世紀的牛頓以發明微積分、經典動力學聞名，是那個時代很少有的注重理論的物理學家（當時被稱作數學家）。但他自己也曾親手做過一些實驗，主要便是研究光的特性。他通過系統的稜鏡實驗證明顏色是光本身的性質【關于牛頓的稜鏡實驗，參閱《宇宙膨脹背後的故事（之四）：察顏觀色識星移》】，並提出光束其實是由微小、肉眼看不見的粒子（copuscle）組成。這種粒子在真空或媒體中傳播時不受任何作用力，因此按照他的慣性定律會走直線。當它們穿越不同媒介的界面時，牛頓假設這些粒子會受到一種未知的力作用，因而方向發生偏移，即“折射（refraction）”。他提出不同顏色的光微粒的質量略有不同：紅光最大、紫光最小。根據他的動力學，它們受力後有不同的加速度，因此偏移程度不同。這樣他便能解釋稜鏡區分白光中各種顏色的“色散（dispersion）”現象。當時人們已經觀測到光還會發生“衍射（diffraction）”，即光在經過障礙物時不是完全按照障礙物邊界所確定的直線行進，而是會有微弱的一部分光“繞”進了障礙物的陰影裡。牛頓同樣把它歸因于障礙物邊界對光粒子的作用力導致。相對于折射，牛頓對衍射的這個解釋十分牽強。而衍射恰恰是波動的特征。我們在大廳裡聽演講，不會被其中的柱子阻擋。因為聲波可以通過衍射繞到柱子後面。與牛頓同時代的虎克（Robert Hooke）、惠更斯（Christiaan Huygens）等人早就提出光也是一種波，並非牛頓的微粒。光的微粒說、波動說便成為17、18世紀的一大科學爭執。雖然惠更斯的波動理論在解釋光的折射、衍射行為中更為自然，但牛頓的威望保證了他的微粒說一直略佔上風。直到1803年11月24日，牛頓去世160多年後的一天。倫敦的英國王家學會迎來了一個新的年輕天才。楊（Thomas Young）那時剛剛30歲。他14歲時就把聖經翻譯成13種不同語言。20歲時自己解刨牛眼，發現眼睛聚焦、成像的秘密，開創了生理光學。接著，他留學德國，在哥廷根大學獲得“物理、手術、助產博士”學位。後來，他在研究物理、治病救人之餘，興趣又會轉向語言學，是最早翻譯埃及象形文字（hieroglyph）、提出“印歐語系（Indo-European languages）”概念的先驅之一。因此，他被譽為“最後一個懂得一切的人（The Last Man who Knew Everything）”，可能是最早贏得這個稱號的歷史人物之一。那天在王家學會，楊展示的是一個極其簡單、如他所言“只要有太陽光就能做”的實驗。他拉上所有窗簾，使屋子裡一片漆黑。接著，他在窗簾上扎一個小洞，放進一束纖細的陽光。然後，他將一個寬約兩毫米的小紙片伸進光束，觀看紙片的影子。那個紙片應該完全擋住那兩毫米的光，留下相應的黑影──最多只是黑影邊緣上有一些來自衍射的模糊。楊展示的結果正好相反。紙片影子的正中，應該最黑的地方卻是明亮的。從影子中間到邊緣有著一道道彩色的條紋。楊解釋說，這些條紋是因為太陽光的色散。如果他在光束前面置放稜鏡，只用單色的光做這個實驗，那麼他們在影子處看到的就會是明暗相間的條紋。這樣的條紋物理學家非常熟悉。觀察被風吹皺的池水，能看到水波的蕩漾。如果水波經過一塊石頭，就會在石頭後面看到與原來的水波不一樣的細碎波紋。那是由于水波分別從石頭的兩邊繞過，在石頭後面相遇時互相幹擾，造成水波有些地方增強有些地方減弱的效果。這個現象叫做“幹涉（interference）”，是波動的特征之一。楊在1807年出版的專著中的一些插圖。上方有眼睛的構造，下面是光的各種幹涉條紋。楊所展示的，便是光束從紙片的兩邊“繞”過後，也在那後面發生了幹涉現象。牛頓的微粒說好歹能勉強解釋光的折射和衍射，對幹涉卻完全無能為力。楊的這場演講標志著微粒說終于退出歷史舞台。惠更斯的波動說被普遍接受：光束不是由微粒組成，而是一種波。×　×　×　×　×半個多世紀後，1864年12月8日，站在王家學會同一個講台上的是蘇格蘭人麥克斯韋。那時，楊早已去世。麥克斯韋在會上闡述了他那著名的方程組，將那時分立的電、磁相互作用完美地統一起來。在他之前，法拉第（Michael Faraday）已經通過實驗發現變化的電場會產生磁場，變化的磁場也能產生電場。在麥克斯韋的方程裡，這兩個過程相輔相成，形成連續傳播的電磁波。當麥克斯韋計算這個電磁波的速度時，驚喜地發現便是當時已知的光速。于是，他驕傲地宣布，光其實就是一種電磁波。1869年的麥克斯韋（左）和夫人。這一重大發現震驚了整個物理學界。柏林的普魯士科學院在1879年公開懸賞，重獎能在1882年3月1日前證實麥克斯韋的電磁波的人。結果，沒有人贏得這個獎。當時做了一番準備但畏難而退的赫茲遲至1887年才完成這一壯舉──並同時發現了光電效應現象。赫茲在試驗中實現的便是我們今天日常生活中熟悉的無線電波。與光波一樣，那也是電磁波的一種。作為紀念，電磁波的頻率便是以“赫茲”作為單位。當有人問這種電波有什麼實際用途時，赫茲無可奈何地答道：“沒有任何用處。這只是一個實驗，證明了麥克斯韋的正確。”雖然赫茲在這一成就對社會進步所能產生的影響嚴重地缺乏前瞻力，他對科學的信心則毫不含糊。兩年後，他凱旋式地宣布：“從人類觀點而言，光的波動理論已經毫無疑問（“The wave theory of light is from the point of view of human beings a certainty.”）。” 其實，在19世紀末，樂觀是物理學家的共性。他們普遍認為物理學已經達到完善境界，剩下的只是進行越來越精確的具體測量工作。1900年4月27日，

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發明絕對溫度制的開爾文勳爵（William Thomson錛 1st Baron Kelvin）在王家學會上發表了一篇流傳廣泛的演講，指出在物理學的晴朗天空中，只存在兩朵烏雲尚待解決，即“以太”和“黑體輻射”兩個未解的難題。這兩朵烏雲恰恰都源自麥克斯韋的電磁學理論。水波來自水分子的集體振蕩。聲波則是空氣分子的集體振蕩。波動不是一種獨立的運動，而是需要某種承載這個波的媒介物質以協同的震蕩方式形成。如果光是波動，自然也需要一個媒介。這正是當初牛頓反對波動說的一大理由：光從太陽、星星來到地球，很難想象整個宇宙會充滿著這樣一個我們沒有覺察的媒介物質。而且，如果有的話，也應該在太陽系星體運動中反映出來。牛頓的引力、動力學在天體運動中的精確成功說明沒有這樣的物質存在。惠更斯只好假想有一種看不見摸不著的以太（aether）。它像水、空氣一樣通過振蕩傳播光波，但除此之外不參與任何物理作用，因此不影響牛頓力學的應用。然而，所有尋找以太的努力都失敗了。1887年，美國物理學家邁克爾遜（Albert Michelson）和莫雷（Edward Morley）進行了精確的幹涉儀實驗，沒能發現地球和以太之間的相對運動，基本上排除了以太存在的可能。這第一朵烏雲最終由愛因斯坦在1905年那個奇蹟年所發表的第三篇論文清除。他指出，麥克斯韋理論中的電磁波與水波、聲波有顯著的不同，是可以自己在真空中傳播而不需要任何媒介物質。由此帶來的相對速度問題則可以通過他新創立的狹義相對論圓滿解決。那另一朵烏雲，則如同愛因斯坦所言，需要比相對論更具有革命性的觀念突破。×　×　×　×　×黑體輻射（black-body radiation）是18世紀中葉德國物理學家基爾霍夫（Gustav Kirchhoff）發現的一個規律。當鐵匠將鐵器放在爐火中加熱時，原來暗黑、不發光的鐵器會隨著溫度升高逐步呈現桔黃、通紅等色彩。經驗豐富的工匠只要看看顏色就能判斷出鐵器所在的溫度，俗稱“看火色”。作為物理學家，

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基爾霍夫將這個生活經驗提鍊成一個抽象的物理問題，叫做黑體輻射。他所說的黑體是理想化的材料，能夠完全吸收來自外界任何頻率的熱輻射，沒有任何反射（所以叫做“黑體”）。同時，它也可以通過自身的熱輻射與所在環境達成熱平衡，即保持同一溫度。根據簡單的熱力學定律，

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基爾霍夫推斷，這樣的黑體的熱輻射強度只會與頻率、溫度有關，而與物體本身是金屬還是木炭、固體還是液體等等沒有關系。這樣，在任何給定的溫度下，黑體輻射在每個頻率上的輻射強度都會是一定的，可以畫出一條普適的頻譜曲線。基爾霍夫自己沒能推算出這個曲線的形狀。但他強調這是一個極其重要的研究領域，希望物理學家為此努力。幾乎同時，麥克斯韋發現了電磁理論。于是，基爾霍夫黑體的熱輻射也就是包括發光在內的電磁輻射。我們平時看不到週圍物體的發光，不是因為它們沒有熱輻射，

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而是室溫下的黑體輻射主要處于紅外波段，只有帶上特殊的紅外夜視儀才能觀察到。當物體被加熱到攝氏500度高溫時，其熱輻射的高峰才會從紅外轉為可見光。這時，我們能直接看到其發光，

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顏色也會隨溫度升高逐漸從紫藍演變成紅色。雖然理想的黑體是一個抽象概念，並不真的存在。日常生活中物體，包括鐵匠爐中的鐵器、磚窯裡的土坯，都在一定程度上接近于黑體，也就可以看火色。不僅如此，我們通過看“火色”就能知道太陽的表面溫度在5000度以上。×　×　×　×　×在基爾霍夫之後幾十年裡，德國的物理學家果然將黑體輻射作為重點科研項目，設計出各種方法測量其頻譜。1893年，柏林大學的維恩（Wilhelm Wien）在實驗基礎上總結出一個經驗公式，可以很好地擬合當時的數據。那時，普朗克已經是40出頭的中年人，在柏林大學接替了基爾霍夫的教授席位。他為維恩這個公式賦予熱力學的理論基礎，使其成為黑體輻射的正統理論。該公式也因此被稱為“普朗克-維恩定律”。對這個突破，普朗克信心滿滿。他在1899年的德國物理學會會議上誇下海口：這個定律其實與熱力學第二定律等價。如果出問題，那麼整個熱力學體系也就會麻煩了。1906年的普朗克。他的大話竟然沒能挺過一年。1900年10月7日，柏林工業大學的實驗物理教授魯本斯（Heinrich Rubens）夫婦應邀來到普朗克家做客。在兩位夫人聊天之際，兩個物理學家躲進了書房。魯本斯透露，他們在黑體輻射測量上已經推進到新的、更低頻率的遠紅外波段，得到的數據與普朗克-維恩定律所預測的相差極大。普朗克深感事體重大。那天晚上他一個人在家仔細研讀這些新數據，很快發現他只要修改一下普朗克-維恩定律的數學形式，就能同時與過去和新的數據完美符合。問題是，他已然宣布既有的定律是熱力學的唯一結論。現在他又如何才能解釋這個變化？更迫切的問題是他沒有時間。僅僅12天後，德國物理學會召開大會。魯本斯的合作者做了他們最新成果的報告。他們展示的曲線果然與普朗克-維恩定律大相徑庭。之後，普朗克不得不站出來應對。他坦承一年前的大話可能說過了頭，熱力學第二定律也許並不能確定地導致普朗克-維恩定律。在新的實驗數據面前，後者顯然不夠正確。接著，他話音一轉：請容許我展示一個新的規律。他隨即亮出那天晚上根據新數據所推出的新公式，果然與實驗數據幾乎天衣無縫。普朗克的新公式是在已知實驗結果的情況下倒推、擬合而得，作為理論學家屬于“作弊”。為了能找到一個理論上站得住腳的緣由，他在緊接著的幾個星期裡絞盡了腦汁。終于，在12月14日的又一次會議上，他給出了一個至少是數學推導上的根據。他說，如果我們在計算中假設黑體吸收、發射電磁波時的能量有一個與頻率成正比的最小值，就可以得出那個完美的新公式。他把那個最小值叫做“量子”（quantum，這個名詞在德語中只是“數量”的意思）。可能因為新的公式與實驗結果符合得太優美，

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在座的物理學家沒有糾結普朗克的推導過程。從那之後，這個新公式被正式稱為黑體輻射的“普朗克定律”。而那之前的“普朗克-維恩定律”則靜悄悄地退位為“維恩定律”，仿佛從來沒有與普朗克有過任何瓜葛。普朗克大鬆了一口氣。他後來回憶道：“那是一個絕望之舉……我知道這是一個基礎性問題，我也知道答案。但我必須不惜一切代價找出一個理論解釋，只是不能違反熱力學的第一、第二定律。”他沒想到，遠在瑞士的伯爾尼，一個專利局小職員卻很快看穿了他這個馬虎眼，並從中看出了實現更革命性的突破之契機。（待續），